Binomialkoeffizient

Im letzten Lernschritt haben wir festgestellt: drei Pfade gehören zu dem Ereignis "Ich habe zwei Treffer". Aber was tun, wenn wir 5 Eier kaufen? Wird das nicht ganz schnell ganz unübersichtlich? Gibt es da einen Trick, wie wir uns das Zeichnen eines riesigen Baumdiagramms sparen können? Das wirst du hier herausfinden!

Aufgabe 1   Überlege, was mit dem Baumdiagramm passiert, wenn du die Anzahl der Stufen (n) vergrößerst (also die Anzahl der Ü-Ei-Käufe vergrößerst). Prüfe dann mit folgender Simulation nach:

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Wir merken also: je mehr Ü-Eier ich kaufe, desto länger und unübersichtlicher wird das Baumdiagramm. Dann wird es auch ganz schnell kompliziert herauszufinden, wie viele Pfade zu einem Ereignis gehören. Wäre es nicht toll, wenn wir da eine Abkürzung finden könnten?

Auf jeden Fall! Und das Geheimnis liegt in der Kombinatorik - also der Kunst herauszufinden, wie viele Möglichkeiten es gibt. Falls du dich unsicher fühlst, bearbeite die Aufgabe 2 andersherum: zuerst 2b, dann 2a, dann nochmal 2b. Falls du den normalen Weg gehen willst, dann bearbeite zuerst 2a, dann 2b, dann nochmal 2a.

Aufgabe 2a)   Fülle die Lücken mit den richtigen Zahlen. (Keine Panik: Du musst noch nicht alles verstehen!)

Aufgabe 2b)   Prüfe nun, ob du richtig gedacht hast mit folgendem Mathesong und fülle die Lücken von 2a) danach nochmal aus.

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Du ahnst es schon: das mit dem Binomialkoeffizienten scheint wichtig zu sein, aber so richtig verstanden haben wir es noch nicht. Darum ein anderes Beispiel: Deine Lieblingseisdiele hat genau 5 verschiedene Eissorten (Schoko, Vanille, Zitrone, Erdbeere und Ohrenschmalz). Du wählst 3 verschiedene Sorten aus ...

Aufgabe 3a)   Notiere in dein Übungsheft deine Überlegungen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese 3 Sorten auszuwählen und auf eine Waffel übereinander zu schichten? Nutze die Aufklapp-Tipps, wenn du Hilfe brauchst.

Aufgabe 3b)   Notiere in dein Übungsheft: Du hast nun Schoko, Zitrone und Erdbeere ausgewählt. Wie viele Eistüten sind möglich?

Leider sind jetzt die Waffeln ausgegangen - du bekommst einen Becher, in welchen die Kugeln nebeneinander gelegt werden. Also ist jetzt die Reihenfolge egal.

Aufgabe 3c)   Notiere in dein Übungsheft: Wie viele Möglichkeiten hast du nun aus 5 Sorten drei Kugeln Eis auszuwählen, wenn die Reihenfolge (wegen des Bechers) wurscht ist? Wenn du nicht draufkommst: keine Panik - 3d) hilft dir dann nachher weiter!

Aufgabe 3d)   Statt Eissorten sind es nun Menschen, sonst ist das Problem aber das selbe! Bearbeite folgendes interaktives Lernvideo:

^{Eis durchgestrichen, von Bernhard Euler, CC BY-SA 4.0, eigener Entwurf}

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Aufgabe 4   Zeit, das mal festzuhalten: Übernimm den folgenden Aufschrieb in dein Merkheft/Nachschlagewerk:

Nebenschauplatz aber dafür mit etwas Mathe-Magie: im Pascalschen Dreieck kannst du nicht nur jeden Binomialkoeffizienten ohne Rechnen ablesen, sondern in der 2. Reihe auch gleichzeitig die Koeffizienten der binomischen Formeln (daher die Namensverwandtschaft binomial - binomisch):

(a+b)² = 1a² + 2ab + 1b².

Das gilt auch für die weiteren Formeln: 

(a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ – u. s. w.