Kachel: Stückzahl und Gewinn | Lineare und Quadratische Funktionen in Anwendungen

Stückzahl und Gewinn

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Schlau und Listig starten einen erneuten Anlauf:

„Ja können Sie denn nicht Eins und Eins zusammenzählen? Die betriebswirtschaftliche Zielgröße, das sollten Sie aber auch wissen, ist nicht der Umsatz, sondern der Gewinn. Und der ist nun mal die Differenz von Umsatz und Kosten. Sie können sich doch denken, was ich wissen will: Machen wir bei einer Stückzahl von 9500 überhaupt Gewinn? Bei welcher Stückzahl machen wir einen Gewinn von 1000,-€? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Gewinn? Und was mich am meisten interessiert: Bei welcher Stückzahl machen wir den größten Gewinn, wie hoch ist der dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Und zwar nicht nur über den Daumen gepeilt, sondern exakt. Oder wollen Sie vielleicht aufgrund von ein paar Bildchen die Firma in die Pleite treiben? Mit mir nicht! Hier geht's auf Nummer sicher. Rechnung!“

Wieder schleichen die beiden wie begossene Pudel davon. Dazu hättest du überhaupt keinen Grund, denn auch bei der Lösung dieser Aufgabe kannst du mit deinem bisher gewonnen Wissen eine Menge anfangen.

Bemerkung: Du kannst alle Rechnungen ohne Maßeinheiten durchführen und auch den Funktionsterm oder die Funktionsgleichung ohne Maßeinheiten angeben. Du musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben und die Parameter des Funktionsterms mit Maßeinheiten interpretieren können.
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Aufgabe 6.a

Markiere – am besten mit einem Textmarker – diejenigen Textstellen, die dir für eine mathematische Lösung des Problems wichtig erscheinen.

Lösung

„Ja können sie denn nicht Eins und Eins zusammenzählen? Die betriebswirtschaftliche Zielgröße, das sollten Sie aber auch wissen, ist nicht der Umsatz, sondern der Gewinn. Und der ist nun mal die Differenz von Umsatz und Kosten. Sie können sich doch denken, was ich wissen will: Machen wir bei einer Stückzahl von 9500 überhaupt Gewinn? Bei welcher Stückzahl machen wir einen Gewinn von 1000,-€? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Gewinn? Und was mich am meisten interessiert: Bei welcher Stückzahl machen wir den größten Gewinn, wie hoch ist der dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Und zwar nicht nur über den Daumen gepeilt, sondern exakt. Oder wollen Sie vielleicht aufgrund von ein paar Bildchen die Firma in die Pleite treiben? Mit mir nicht! Hier geht's auf Nummer sicher. Rechnung!“

Kompetenzen

Mathematisieren eines Sachverhalts.

Aufgabe 6.b

Vervollständige die folgende Tabelle.

Stückzahl z in Stk	13000	14000	15000	16000	17000	19000	21000	23000
Umsatz u in €	35100	36400	37500	38400	39100	39900	39900	39100
Selbstkosten k in €	34400	35200	36000	36800	37600	39200	40800	32400
Gewinn g in €

Tipp

Der Gewinn ist die Differenz aus Umsatz und Selbstkosten.

Lösung

Stückzahl z in Stk	13000	14000	15000	16000	17000	19000	21000	23000
Umsatz u in €	35100	36400	37500	38400	39100	39900	39900	39100
Selbstkosten k in €	34400	35200	36000	36800	37600	39200	40800	32400
Gewinn g in €	700	1200	1500	1600	1500	700	-900	-3300

Kompetenzen

Mathematisieren eines Sachverhalts.

Aktivität Aufgabe 6.c Erstelle ein dem Problem angemessenes ... auswählen
Aufgabe 6.c

Erstelle ein dem Problem angemessenes Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\). Dabei soll die Stückzahl auf der Rechtsachse und der Gewinn auf der Hochachse aufgetragen werden.

Rechtsachse: 1cm entspricht 2500Stk; Hochachse: 1cm entspricht 2500,-€.

Lösung

Kompetenzen

Anfertigen eines beschrifteten und skalierten Koordinatensystems, das dem Sachzusammenhang angemessen ist.
Aktivität Aufgabe 6.d Trage die Wertepaare aus der Tabelle a... auswählen
Aufgabe 6.d

Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.

Verbinde die Punkte durch einen Graphen.

Nenne den Typ dieses Graphen.

Lösung

Der Graph ist eine Parabel.

Kompetenzen

Eintragen von Punkten in ein Koordinatensystem

Erkennen eines parabelförmigen Verlaufs von Punkten
Aktivität Aufgabe 6.e Nenne aufgrund des Graphen den Funktio... auswählen

Aufgabe 6.e

Nenne aufgrund des Graphen den Funktionstyp, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\) beschreibt.

Gib zwei Formen des Funktionsterms dieses Funktionstyps an.

Erläutere die Bedeutung der wichtigsten Parameter, die in den jeweiligen Funktionstermen vorkommen.

Lösung

Da es sich bei dem Graphen um eine Parabel handelt, wird der Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\) durch eine Quadratische Funktion beschrieben.

Der Funktionsterm einer Quadratischen Funktion lautet in Allgemeiner Form\[g\left( z \right) = a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\]und in Scheitelpunktform\[g\left( z \right) = a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\]

Dabei heißt \(a\) Öffnungs-, Streckungs- oder Stauchungsfaktor. Er gibt durch sein Vorzeichen an, ob die Parabel nach oben (+) oder nach unten (-) geöffnet ist, Weiter gib der Öffnungsfaktor durch seinen Betrag an, ob die Parabel enger (>1) oder weiter (<1) als die Normalparabel verläuft.

Weiter heißt \(c\) der Achsenabschnitt. Es handelt sich dabei um den Funktionswert an der Stelle Null, also die Schnittstelle des Graphen mit der Hochachse.

Die Parameter \(d\) und \(e\) liefern die Koordinaten des Scheitelpunktes, also \({\rm{S}}\left( {d|e} \right)\).
Aktivität Aufgabe 6.f Bestimme auf zwei unterschiedlichen We... auswählen
Aufgabe 6.f

Bestimme auf zwei unterschiedlichen Wegen den Funktionsterm , der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\) beschreibt.

1. Weg

Leite den Funktionsterm durch Kombinieren der Zusammenhänge zwischen Stückzahl, Umsatz und Selbstkosten her.

Tipp

Der Gewinn ist die Differenz aus Umsatz und Selbstkosten, der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Umsatz lautet \(u(z)=-0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\), der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Selbstkosten lautet \(k(z)=0{,}8 \cdot z + 24000\).

Lösung

\[\begin{aligned}g(z) &= u(z) - k(z)\\ &= -0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z - \left( 0{,}8 \cdot z + 24000 \right) \\ &=-0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z - 0{,}8 \cdot z - 24000 \\ &=-0{,}0001 \cdot {z^2} +3{,}2 \cdot z -24000 \end{aligned}\]

Kompetenzen

Modellieren eines Sachverhalts

Einfache Termumformungen

2. Weg

Berechne die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

Lösung

Wir nutzen die drei Punkte \({\rm{P}}(13000|700)\), \({\rm{Q}}(15000|1500)\) und \({\rm{R}}(17000|1500)\).

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= g(13000)\\1500 &= g(15000)\\1500 &= g(17000)\end{aligned} \right.}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\1500 &= 225000000 \cdot a + 15000 \cdot b + c\\1500 &= 289000000 \cdot a + 17000 \cdot b + c\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\;-700 = -169000000 \cdot a - 13000 \cdot b - c}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\800 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\800 &= 120000000 \cdot a + 4000 \cdot b\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{{}}\\{\left| { \cdot \left( { - 2} \right)} \right. \rightarrow {\rm{II'}}:\;-1600 = 112000000 \cdot a - 4000 \cdot b}\\{\left| { + \;{\rm{II'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\800 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\ - 800 &= 8000000 \cdot a\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{}\\{ \Rightarrow a = - 0{,}0001}\end{array}}&\begin{array}{l}\\\left. \begin{array}{l}\\\end{array} \right\} \Rightarrow b = 3{,}2\end{array}&{\left. \begin{array}{l}\\\\\end{array} \right\} \Rightarrow c = -24000}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}-24000 &= c\\3{,}2 &= b\\ - 0{,}0001 &= a\end{aligned} \right.}\end{array}\)

Lösung mit GeoGebra
g(z):=a*z^2+b*z+c
Löse({700=g(13000),1500=g(15000),1500=g(17000)},{a,b,c})

Daher lautet der Funktionsterm \(g(z)=-0{,}0001 \cdot {z^2} +3{,}2 \cdot z -24000\).

Kompetenzen

Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner Form mit Hilfe von drei Punkten

Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen
Aktivität Aufgabe 6.g Überprüfe rechnerisch, ob dein Funktio... auswählen
Aufgabe 6.g

Überprüfe rechnerisch, ob dein Funktionsterm den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Gewinn korrekt beschreibt.

Lösung

Einsetzen dreier Wertepaare in die Funktionsgleichung \(g = -0{,}0001 \cdot z^2 + 3{,}2 \cdot z - 24000\) ergibt

\(\begin{aligned}700 &= -0{,}0001 \cdot 13000^2 + 3{,}2 \cdot 13000 - 24000 \quad (w)\\1500 &= -0{,}0001 \cdot 15000^2 + 3{,}2 \cdot 15000 - 24000 \quad (w)\\1500 &= -0{,}0001 \cdot 17000^2 + 3{,}2 \cdot 17000 - 24000 \quad (w)\end{aligned}\)

Kompetenzen

Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion erfüllen
Aktivität Aufgabe 6.h Erstelle mit Hilfe eines Funktionsgrap... auswählen
Aufgabe 6.h

Erstelle mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen den Funktionsgraphen, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\) graphisch darstellt.

Lösung

Kompetenzen

Erstellen eines Funktionsgraphen mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen
Aktivität Aufgabe 6.i Beantworte rechnerisch die erste von H... auswählen
Aufgabe 6.i

Beantworte rechnerisch die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

Lösung

Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9500, setzt also 9500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

\(g\left( 9500 \right) = - 0{,}0001 \cdot 9500^2 + 3{,}2 \cdot 9500 - 24000 = -2625\)

Lösung mit GeoGebra
g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000 g(9500)

Wenn die Firma 9500 Aufkleber verkauft, macht sie keinen Gewinn, sondern einen Verlust von 2625,- €.

Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

Kompetenzen

Mathematisieren eines Sachverhalts

Berechnen eines Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Quadratischen Funktion

Berechnen des Wertes eines Quadratischen Terms
Aktivität Aufgabe 6.j Beantworte rechnerisch die zweite von ... auswählen
Aufgabe 6.j

Beantworte rechnerisch die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

Lösung

Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 1000, setzt also den Funktionsterm gleich 1000 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

\(\begin{aligned}g\left(z\right) &= 1000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000 &= 1000 \quad|-1000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -25000 &= 0\end{aligned}\)

Diese quadratische Gleichung löst du entweder durch quadratische Ergänzung

\(\begin{aligned} -0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 25000 &= 0 \quad|:(-0{,}0001)\\{z^2} - 32000 \cdot z\, {+\,250000000} &= 0\\{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z + 16000^2 - 16000^2\, {+\,250000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2}\, {+\,60000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2} - \left( 1000 \cdot \sqrt{6} \right)^2 &= 0\\\left( {z - 16000 + 1000 \cdot \sqrt{6}} \right) \cdot \left( {z - 16000 - 1000 \cdot \sqrt{6}} \right) &= 0\\z \approx 13550{,}5 &\vee z \approx 18449{,}5\\L &\approx \left\{ {13550{,}5\,;\,18449{,}5} \right\}\end{aligned}\)

oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel (Mitternachtsformel)

\(\begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 3{,}2 \pm \sqrt {-3{,}2^2 - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( {-25000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} & = \frac{{-3{,}2 \pm \sqrt{0{,}24}}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} & \approx 13550{,}5\; ; \;{z_2} \approx 18449{,}5\\L &\approx \left\{ {13550{,}5\,;\,18449{,}5} \right\}\end{aligned}\)

Lösung mit GeoGebra
g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000Löse(g(z)=1000,z)

Die Firma macht ungefähr 1000,-€ Gewinn, wenn sie entweder 13550 oder aber 18450 Aufkleber verkauft.

Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

Kompetenzen

Mathematisieren eines Sachverhalts

Berechnen der Stelle/n zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Quadratischen Funktion

Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
Aktivität Aufgabe 6.k Beantworte rechnerisch die dritte von ... auswählen
Aufgabe 6.k

Beantworte rechnerisch die dritte von Herrn Zickler gestellte Frage.

Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

Lösung

Zur Beantwortung der dritten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 0, setzt also den Funktionsterm gleich 0 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

\(\begin{aligned}g\left(z\right) &= 0\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000 &= 0\end{aligned}\)

Diese quadratische Gleichung löst du entweder durch quadratische Ergänzung

\(\begin{aligned} -0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 24000 &= 0 \quad|:(-0{,}0001)\\{z^2} - 32000 \cdot z \,{+\,240000000} &= 0\\{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z + 16000^2 - 16000^2 \,{+\,240000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2}\,{-\,16000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2} - 4000^2 &= 0\\\left( {z - 16000 + 4000} \right) \cdot \left( {z - 16000 - 4000 } \right) &= 0\\z = 12000 &\vee z = 20000\\L &= \left\{12000\,;\,20000\right\}\end{aligned}\)

oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel (Mitternachtsformel)

\(\begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 3{,}2 \pm \sqrt {3{,}2^2 - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( {-24000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} & = \frac{{-3{,}2 \pm \sqrt{0{,}64}}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} & = 12000\; ; \;{z_2} = 20000\\L &= \left\{ {12000\,;\,20000} \right\}\end{aligned}\)

Lösung mit GeoGebra
g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000Löse(g(z)=0,z)

Die Firma macht Gewinn, wenn sie mehr als 12000 und weniger als 20000 Aufkleber verkauft.

Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

Kompetenzen

Mathematisieren eines Sachverhalts

Berechnen der Stelle/n zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Quadratischen Funktion

Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
Aktivität Aufgabe 6.l Beantworte rechnerisch die vierte von ... auswählen
Aufgabe 6.l

Beantworte rechnerisch die vierte von Herrn Zickler gestellte Frage.

Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

Lösung

Zur Beantwortung der vierten Frage wandelt man den Funktionsterm zuerst aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um.

\(\begin{aligned}g\left( z \right) &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 32000 \cdot z\, {+\,240000000}} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z} + 16000^2 - 16000^2\, {+\,240000000} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{{\left( {z - 16000} \right)}^2}\, {-\,16000000}} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot {\left( {z - 16000} \right)^2} +1600\end{aligned}\)

Da die Parabel wegen \(a=-0{,}0001 < 0\) nach unten geöffnet ist, liegt der größte Funktionswert an der Stelle des Scheitelpunktes, also bei \(z = 16000\) mit dem Funktionswert \(g=1600\).

Wenn die Firma wöchentlich 16000 Aufkleber verkauft, dann ist der Gewinn am größten und beträgt 1600,-€.

Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

Um diesen maximalen Gewinn zu erzielen, muss ein Aufkleber wegen \[p(16000)=-0{,}0001 \cdot 16000 + 4 = 2{,}4\]zum Preis von 2,40€ verkauft werden.

Lösung mit GeoGebra
g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
Extremum(g(z)) p(z):=-0.0001*z+4 p(1600)

Kompetenzen

Mathematisieren eines Sachverhalts

Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform

Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunkts aus dem Term der Scheitelpunktform

Stückzahl und Gewinn

Aufgabe 6.a

Aufgabe 6.b

Aufgabe 6.c

Aufgabe 6.d

Aufgabe 6.e

Aufgabe 6.f

1. Weg

2. Weg

Aufgabe 6.g

Aufgabe 6.h

Aufgabe 6.i

Aufgabe 6.j

Aufgabe 6.k

Aufgabe 6.l