Animierte Navigation Hoher Kontrast
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  • Stückzahl und Umsatz - Teil 1

    • Wieder erscheinen Schlau und Listig bei Zickler. Ihre Ergebnisse scheinen zwar alle richtig zu sein, aber die beiden erhalten eine weitere Lektion in Sachen Führungsqualität:

      „Die Unternehmensleitung interessiert sich doch nicht dafür, wie viel Stück unserer Aufkleber wir produzieren oder zu welchem Stückpreis wir sie verkaufen. Ständig muss ich mir anhören, wie wichtig der Umsatz in der heutigen Zeit ist. Der Umsatz soll immer möglichst groß sein. Ich hoffe, dass Sie noch wissen, dass der Umsatz das Produkt aus der Stückzahl und dem Stückpreis ist. Und ich will jetzt von Ihnen genauere Informationen geliefert haben: Wie hoch ist unser Umsatz, wenn wir 9500 Stück produzieren? Wie viel Stück müssen wir produzieren, wenn wir einen Umsatz von 30000,-€ erzielen wollen? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Umsatz? Und schließlich: Bei welcher Stückzahl ist der Umsatz am größten, wie hoch ist er dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Ab jetzt!“

      Der Verzweiflung nahe machen sich Schlau und Listig an die Arbeit. Du brauchst allerdings nicht zu verzweifeln, sondern kannst die gestellten Fragen bald beantworten.

    • Aufgabe 3.a

      Markiere – am besten mit einem Textmarker – diejenigen Textstellen, die dir für eine mathematische Lösung des Problems wichtig erscheinen.

      Lösung

      „Die Unternehmensleitung interessiert sich doch nicht dafür, wie viel Stück unserer Aufkleber wir produzieren oder zu welchem Stückpreis wir sie verkaufen. Ständig muss ich mir anhören, wie wichtig der Umsatz in der heutigen Zeit ist. Der Umsatz soll immer möglichst groß sein. Ich hoffe, dass sie noch wissen, dass der Umsatz das Produkt aus der Stückzahl und dem Stückpreis ist. Und ich will jetzt von ihnen genauere Informationen geliefert haben: Wie hoch ist unser Umsatz, wenn wir 9500 Stück produzieren? Wie viel Stück müssen wir produzieren, wenn wir einen Umsatz von 30000,-€ erzielen wollen? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Umsatz? Und schließlich: Bei welcher Stückzahl ist der Umsatz am größten, wie hoch ist er dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Ab jetzt!“

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 3.b

      Vervollständige die folgende Tabelle.

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Stückpreis p in €

      2,70

      2,60

      2,50

      2,40

      2,30

      2,10

      1,90

      1,70

      Umsatz u in €

       

       

       

       

       

       

       

       
       
      Tipp

      Der Umsatz ist das Produkt aus der Stückzahl und dem Stückpreis.

      Lösung

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Stückpreis p in €

      2,70

      2,60

      2,50

      2,40

      2,30

      2,10

      1,90

      1,70

      Umsatz u in €

      35100

      36400

      37500

      38400

      39100

      39900

      39900

      39100
       

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 3.c

      Erstelle ein dem Problem angemessenes Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Stückzahl und dem Umsatz. Dabei soll die Stückzahl \(z\) auf der Rechtsachse und der Umsatz \(u\) auf der Hochachse aufgetragen werden.

      Rechtsachse: 1cm entspricht 2500Stk, Hochachse: 1cm entspricht 2500,-€.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Umsatzes in Abhängigkeit von der Stückzahl

      Kompetenzen

      • Anfertigen eines beschrifteten und skalierten Koordinatensystems, das dem Sachzusammenhang angemessen ist.
    • Aufgabe 3.d

      Trage die Wertepaare aus der ersten und dritten Zeile der Tabelle in Aufgabe 3.b als Punkte in das Koordinatensystem ein.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Umsatzes in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren

      Kompetenzen

      • Eintragen von Punkten in ein Koordinatensystem.
    • Aufgabe 3.e

      Verbinde die eingezeichneten Punkte durch einen Graphen.

      Nenne den Typ dieses Graphen.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Umsatzes in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren und Graph

      Der Graph ist eine Parabel.

      Kompetenzen

      • Erkennen eines parabelförmigen Verlaufs von Punkten.
    • Aufgabe 3.f

      Der Graph schneidet die Rechtsachse in zwei Punkten.

      Gib die Koordinaten dieser Punkte an.

      Erläutere die – zugegebenermaßen teilweise etwas unrealistische – Bedeutung der Koordinaten dieser Punkte im Sachzusammenhang.

      Lösung

      Die Schnittpunkte mit der Rechtsachse (z-Achse) sind \({{\rm{S}}_{{z_1}}}\left( {0|0} \right)\) und \({{\rm{S}}_{{z_2}}}\left( {40000|0} \right)\).

      Wenn die Firma wöchentlich keinen Aufkleber oder aber 40000 Aufkleber herstellt, macht sie keinen Umsatz.

      Kompetenzen

      • Ablesen der Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem, insbesondere der Schnittpunkte eines Graphen mit den Koordinatenachsen.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.g

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der ersten Frage liest man am Graphen den Funktionswert zur Stelle 9500 ab und erhält ca. 28000.

      Wenn die Firma wöchentlich 9500 Aufkleber verkauft, beträgt der Umsatz ca. 28000,-€.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.h

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der zweiten Frage liest man am Graphen die Stellen zum Funktionswert 30000 ab und erhält sowohl 10000 als auch 30000.

      Um einen Umsatz von 30000,-€ zu erzielen, muss die Firma wöchentlichen entweder 10000 Aufkleber oder aber 30000 Aufkleber verkaufen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.i

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die dritte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der dritten Frage liest man am Graphen ab, zwischen welchen Stellen die Funktionswerte positiv sind, was genau zwischen den beiden Schnittpunkten \({{\rm{S}}_{{z_1}}}\left( {0|0} \right)\) und \({{\rm{S}}_{{z_2}}}\left( {40000|0} \right)\) des Graphen mit der Rechtsachse der Fall ist.

      Ab dem 1. bis zum 39999. wöchentlich verkauften Aufkleber macht die Firma Umsatz.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.j

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die vierte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der vierten Frage liest man am Graphen die Koordinaten des Scheitelpunktes ab und erhält \({\rm{S}}\left( {20000|40000} \right)\).

      Wenn die Firma wöchentlich 20000 Aufkleber verkauft, ist der Umsatz am größten und beträgt 40000,-€.

      Aus der Tabelle in Aufgabe 1.b kann man leicht schließen, dass die Firma wöchentlich 20000 Aufkleber verkaufen kann, wenn der Stückpreis 2,-€ beträgt.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.