Lineare Gleichungssysteme (2x2)

Was sind "Lineare Gleichungssysteme (2x2)"?

Wir schauen uns hierzu die Bezeichnung einmal genauer an, und zwar Schritt für Schritt entlang der Zahlen, die du unterhalb der einzelnen Teile des Ausdrucks findest:"

1: Was eine "Gleichung" ist weisst du bereits: rechts und links von einem Gleichheitszeichen stehen zwei Terme, und meist befindet sich in mindestens einem Term eine Variable, oft mit dem Buchstaben \(x\) bezeichnet. Ein typisches Beispiel wäre z.B. die Gleichung\[2 \cdot x + 2 = 4\]Als Lösung einer Gleichung bezeichnen wir eine Zahl, die - wenn wir sie für die Variable einsetzen und die Terme auswerten - eine wahre Aussage ergibt. So ist bei dieser Gleichung die Zahl \(1\) eine Lösung, denn wenn du für \(x\) die Zahl \(1\) einsetzt erhältst du\[2 \cdot 1 + 2 = 4 \Leftrightarrow 4=4\quad(w)\]Die Zahl \(2\) ist dagegen keine Lösung, denn wenn du für \(x\) die Zahl \(2\) einsetzt erhältst du\[2 \cdot 2 + 2 = 4 \Leftrightarrow 6=4 \quad(f)\]

2: Das Wort "System" soll uns sagen, dass wir nicht nur eine, sondern mehrere Gleichungen gleichzeitig zu lösen haben. Ein typisches Beispiel wären z.B. die Gleichungen\[\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{ + 2}& = &4\\{3x}&{ - 1}& = &2\end{array}} \right|\]Auch hier ist die Zahl \(1\) eine Lösung, wie du leicht selber testen kannst.

3: Die Zahl 2 an dieser Stelle bedeutet, dass wir es mit 2 Gleichungen zu tun haben. Stände hier z.B. eine 3, hätten wir 3 Gleichungen gleichzeitig zu lösen.

4: Die Zahl 2 an dieser Stelle bedeutet, dass wir es in den Gleichungen nicht nur mit einer, sondern gleich mit zwei Variablen zu tun haben. Die zweite Variable wird oft mit \(y\) bezeichnet. Ein typisches Beispiel wäre z.B. die Gleichung\[2 \cdot x + 2 = y + 2\]Als Lösung einer solchen Gleichung bezeichnen wir zwei Zahlen, die - wenn wir sie für die Variablen einsetzen und die Terme auswerten - eine wahre Aussage ergeben. So sind bei dieser Gleichung die Zahlen \(1\) und \(2\) eine Lösung, denn wenn du für \(x\) die Zahl \(1\) und für \(y\) die Zahl \(2\) einsetzt erhältst du\[2 \cdot 1 + 2 = 2 + 2 \Leftrightarrow 4=4\quad(w)\]Aber auch die Zahlen \(3\) und \(4\) sind eine Lösung, wie du leicht selber testen kannst. Eine Gleichung mit zwei Variablen hat also in der Regel mehr als eine Lösung.

5: Das Wort "Linear" bedeutet, dass die Variablen in den Termen nur linear, d.h. z.B. nicht quadratisch als \(x^2\), nicht im Nenner von Brüchen als \(\frac{1}{y}\) und auch nicht miteinander multipliziert wie z.B. bei \(x \cdot y\) auftreten.

Als Lösung eines Linearen Gleichungssystems (2 x 2) verstehen wir nun zwei Zahlen, die für die zwei Gleichungen gleichzeitig eine Lösung sind. Haben wir also z.B. die zwei Gleichungen\[\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{ + 2}& = &y&{ + 2}\\x&{ - 1}& = &{2y}&{ - 4}\end{array}} \right|\]dann sind die zwei Zahlen \(1\) und \(2\) eine Lösung, denn wenn du in beide Gleichungen für \(x\) die Zahl \(1\) und für \(y\) die Zahl \(2\) einsetzt erhältst du\[\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{2 \cdot 1}&{ + 2}& = &2&{ + 2}\\1&{ - 1}& = &{2 \cdot 2}&{ - 4}\end{array}} \right| \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{l}}4& = &4&{(w)}\\0& = &0&{(w)}\end{array}} \right|\]Die Lösung schreiben wir als geordnetes Zahlenpaar in die Lösungsmenge, also hier\[L = \left\{ {\left( {1\;;2} \right)} \right\}\]